Progressi nelle teorie matematiche dei gruppi
I moderni principi matematici si basano pesantemente sulla teoria dei gruppi, in cui le simmetrie di oggetti matematici arbitrari formano gruppi correlati a numerose aree della disciplina. Un gruppo particolarmente interessante è il gruppo infinito o residualmente finito, in cui l'intersezione di sottogruppi di indice finito è triviale (es. i gruppi lineari generati finitamente o i gruppi aritmetici). Il progetto Resfingroup ("Invariants of residually finite groups: graphs, groups and dynamics") ha analizzato il comportamento asintotico degli invarianti nel reticolo di sottogruppo correlato a gruppi residualmente finiti. Per raggiungere i propri obiettivi, il progetto Resfingroup ha esaminato insieme argomenti come la teoria dei gruppi, la teoria dei grafi, gli elementi della topologia e della dinamica e la teoria delle probabilità. Sono stati verificati i collegamenti tra le invarianti asintotiche di torri di ricoprimento, le invarianti algebriche dei gruppi residualmente finiti e le proprietà dinamiche e le invarianti delle azioni profinite. Inoltre, il progetto si è concentrato su come i grafi casuali unimodulari si comportino come vertex-transitive. La ricerca approfondita correlata a tali argomenti ha rivelato molte importanti scoperte e risultati. Ad esempio, si è verificato che per un gruppo Lie reale semplice di rango superiore, le varietà differenziabili di quoziente convergono verso il gruppo Lie stesso. Questo risultato influenza varie applicazioni come la crescita dei numeri di Betti e le molteplicità di conteggio delle rappresentazioni unitarie. Inoltre, il team di ricerca ha elaborato un teorema di rigidità per i diagrammi di Cayley allargati e ha dimostrato una versione strong del teorema di Kesten sul raggio spettrale. Il team ha anche sperimentato con il polinomiale cromatico dei grafi finiti, che ha rivelato informazioni illuminanti sulla probabilità uniforme. Tali risultati hanno certamente dischiuso nuove aree d'interesse in matematica, in particolare in quanto correlano specifiche aree della disciplina in modi totalmente nuovi.
