Postępy w matematycznych teoriach grupy
Zasady współczesnej matematyki polegają głównie na teorii grup, gdzie symetrie dowolnych obiektów matematycznych tworzą grupy wywierające nacisk na kilka obszarów dyscypliny. Jedną ze szczególnie interesujących grup jest grupa nieskończona bądź grupa rezydualnie skończona, gdzie przecięcie podgrup o skończonym indeksie jest mało znaczące (np. skończenie generowane grupy liniowe lub grupy arytmetyczne). W ramach finansowanego ze środków UE projektu "Stałe grup rezydualnie skończonych: grafy, grupy i dynamika" (Resfingroup) zbadano asymptotyczne zachowanie stałych na kracie podgrupy w odniesieniu do grup rezydualnie skończonych. Aby osiągnąć cele, realizatorzy projektu Resfingroup zbadali łącznie zagadnienia, takie jak teoria grup, teoria grafów, elementy topologii, dynamiki i teorii prawdopodobieństwa. Zgłębili też powiązania między stałymi asymptotycznymi wież pokrywających, stałych algebraicznych grup rezydualnie skończonych oraz właściwości dynamicznych i stałych działań proskończonych. Ponadto, skupili się na tym, jak jednomodułowe grafy losowe zachowują się jak wierzchołkowo tranzytywne. Dogłębne badania związane z tymi zagadnieniami wniosły wiele ważnych ustaleń i wyników. Na przykład okazało się, że dla prostej grupy Liego wyższego rzędu wielokrotności ilorazu zbiegają się w grupie Liego. Wynik ten dotyczy różnych zastosowań, takich jak wzrost liczb Bettiego i wielokrotności liczenia jednostkowych przedstawień. Ponadto zespół badawczy opracował twierdzenie sztywności dla diagramów rozszerzających Cayleya oraz potwierdził mocną wersję twierdzenia Kestena w sprawie promienia spektralnego. Przeprowadził także eksperymenty z wielomianem chromatycznym grafów skończonych, które ujawniły cenne informacje o jednolitym prawdopodobieństwie. Wyniki te z pewnością otwierają nowe obszary zainteresowań w matematyce, zwłaszcza że łączą one określone obszary tej dyscypliny w nowatorski sposób.
