Avances en teorías matemáticas de grupos
Los principios de las matemáticas modernas dependen en gran medida de la teoría de grupos, en donde las simetrías de objetos matemáticos arbitrarios forman grupos que influyen en diversas áreas de la disciplina. Un grupo de interés es el grupo infinito o residualmente finito, en donde la intersección de subgrupos de índice finito es trivial (p.ej. los grupos lineales generados finitamente o los grupos aritméticos). El proyecto Resfingroup («Invariantes de grupos residualmente finitos: grafos, grupos y dinámica»), financiado por la Unión Europea, investigó el comportamiento asintótico de invariantes de la red de subgrupos relacionada con grupos residualmente finitos. Para lograr sus metas, el equipo de Resfingroup examinó conjuntamente temas como teoría de grupos, teoría de grafos, elementos de topología, dinámica y teoría de la probabilidad. Exploró enlaces entre invariantes asintóticos de torres de recubrimiento, invariantes algebraicos de grupos residualmente finitos y propiedades dinámicas e invariantes de acciones profinitas. Además, el grupo se concentró en cómo los grafos aleatorios unimodulares se comportan como grafos vértice-transitivos. La investigación a fondo de estos temas reveló muchos hallazgos y resultados importantes. Por ejemplo se demostró que, para un grupo real simple de Lie de más alto rango, las variaciones cociente convergen al grupo de Lie. Este resultado afecta a varias aplicaciones, tales como el crecimiento de los números de Betti y la enumeración de multiplicidades de representaciones unitarias. Además, el grupo de investigación elaboró un teorema de rigidez en diagramas expansores de Cayley y demostró una versión fuerte del teorema de Kesten sobre radio espectral. También experimentó con polinomios cromáticos de grafos finitos, estudio que reveló información esclarecedora sobre la probabilidad uniforme. Estos resultados definitivamente han dado origen a nuevas áreas de interés dentro de las matemáticas, en especial porque conectan áreas específicas de la disciplina de maneras novedosas.
