Fortschritte in der Mathematik: Gruppen- und Graphentheorien werden weiterentwickelt
Moderne mathematische Prinzipien stützen sich stark auf die Gruppentheorie, wobei Symmetrien beliebiger mathematischer Objekte Gruppen bilden, die mit verschiedenen Bereichen der Disziplin im Zusammenhang stehen. Eine spezielle Gruppe, die von Interesse ist, ist die unendliche oder residuale endliche Gruppe, bei der der Schnittpunkt der Untergruppen mit endlichem Index trivial ist (z. B. endlich erzeugte lineare Gruppen oder arithmetische Gruppen). Das EU-finanzierte Resfingroup-Projekt ("Invariants of residually finite groups: graphs, groups and dynamics") untersuchte das asymptotische Verhalten von Invarianten auf dem Untergruppengitter in Bezug auf residuale endliche Gruppen. Im Laufe von Resfingroup überprüfte man Themenfelder wie Gruppentheorie, Graphentheorie, Elemente der Topologie, Dynamik und Wahrscheinlichkeitstheorie im Zusammenhang, um diese Ziele zu erreichen. Man sondierte Verbindungen zwischen asymptotischen Invarianten abdeckender Türme, algebraische Invarianten residualer endlicher Gruppen sowie dynamische Eigenschaften und Invarianten proendlicher Aktionen. Außerdem konzentrierte man sich darauf, auf welche Weise sich unimodulare zufällige Graphen wie vertextransitive Graphen verhalten. Gründliche Forschungsarbeit im Zusammenhang mit diesen Themenbereichen ergaben viele wichtige Resultate und neues Wissen. So wurde zum Beispiel bewiesen, dass für eine einfache reelle Lie-Gruppe höheren Rangs die Quotientenvielfältigen gegen die Lie-Gruppe konvergieren. Dieses Ergebnis beeinflusst verschiedene Anwendungen wie etwa den Anstieg von Bettizahlen und das Zählen von Multiplizitäten unitärer Darstellungen. Das Forscherteam erarbeitete überdies ein Rigiditätstheorem über Expander-Cayley-Diagramme und bewies eine belastbare Version des Kesten-Theorems zum Spektralradius. Man experimentierte außerdem mit dem chromatischen Polynom endlicher Graphen, wobei sich aufklärende Informationen zur gleichmäßigen Wahrscheinlichkeit ergaben. Diese Resultate haben in der Tat neue interessante Bereiche der Mathematik eröffnet, insbesondere da sie spezielle Fachgebiete der Disziplin auf neuartige Weise verbinden.
