Mathématiques : des progrès dans la théorie des ensembles
Les principes des mathématiques modernes reposent principalement sur la théorie des ensembles où les symétries des objets mathématiques arbitraires forment des ensembles qui ont une incidence sur plusieurs branches de la discipline. L'un des ensembles les plus intéressants est l'ensemble non défini ou approximativement défini où l'intersection de sous-ensembles à index défini est simple (des ensembles linéaires ou ensembles arithmétiques générés par définition). Le projet Resfingroup («variants of residually finite groups: graphs, groups and dynamics»), financé par l'UE, visait à étudier le comportement asymtotique des invariants sur la structure de sous-ensemble relative aux ensembles approximativement définis. Pour atteindre son objectif, l'équipe du projet Resfingroup a regroupé les sujets à étudier, comme la théorie des ensembles, la théorie des graphes, les éléments de topologie, la dynamique et la théorie des probabilités. Elle a examiné les liens entre les invariants asymptotiques des arbres couvrants, les invariants algébriques des ensembles approximativement définis ainsi que les propriétés dynamiques et les invariants de fonctions prédéfinies. Par ailleurs, elle s'est concentrée sur la façon dont se comportaient les graphes aléatoires à matrice unimodulaire tels que les graphes sommet-transitifs. Une recherche approfondie portant sur ces sujets a donné de nombreux résultats et découvertes. Par exemple, elle a démontré que pour un ensemble de Lie simple de rang supérieur, les quotients et multiples convergent vers l'ensemble de Lie. Ce résultat affecte diverses applications, comme la croissance des nombres de Betti et le calcul de la multiplicité des représentations unitaires. En outre, l'équipe du projet a élaboré un théorème de rigidité sur les extensions des diagrammes de Cayley et ont démontré une version du théorème de Kesten sur le rayon spectral. Elle a également expérimenté la chromatique polynomiale des graphes définis qui a révélé des informations intéressantes sur la probabilité uniforme. Ces résultats ont certainement permis de découvrir d'autres centres d'intérêt en mathématique, surtout par la révélation des nouveaux moyens de relier des branches spécifiques de la discipline.
