Multifraktale Modelle zum Simulieren von zufälligem Verhalten

Gebrochene Brownsche Bewegung hat sich in so unterschiedlichen Bereichen wie Physik und Finanzmathematik zu einem beliebten Modell sowohl für kurz- als auch für langfristige abhängige Phänomene entwickelt. EU-finanzierte Forscher entwickelten eine statistische Methoden und ein Simulationsverfahren, um ihr stochastisches Verhalten zu beschreiben.

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Mithilfe der Mathematik wurde ein Phänomen beschrieben, das auch als Random Walk bezeichnet wird. Gebrochene Brownsche Bewegung besteht aus Schritten in eine zufällige Richtung mit einer Schrittlänge, die einen charakteristischen Wert hat. Insbesondere eine Familie von Gaußschen Zufallsfunktionen wurde für eine Vielzahl von Zeitreihen vorgesehen, um ihre merkwürdigen Eigenschaften zu beschreiben. Ein wesentliches Merkmal der gebrochenen Brownschen Bewegung ist, dass beim heranzoomen auf einen beliebigen Teil dieser Funktionen ein ähnlicher Random Walk in dem gezoomten Teil gebildet wird. Die Ausweitung der Analyse auf die sogenannte Multifraktionalität ermöglicht die Bewertung von Eigenschaften, die nicht konstant sind, sondern mit der Zeit variieren. Das Anwenden von Konzepten der Multifraktionalität erfordert die Entwicklung innovativer statistischer und numerischer Werkzeuge, um ein so komplexes Verhalten zu simulieren und vorherzusagen. Das Projekt MULTIFRACTIONALITY (Multi-parameter multi-fractional Brownian motion) hatte sich vorgenommen, solche Techniken zu entwickeln. Die Forscher begannen bei der Erweiterung des stochastischen Kalküls für gebrochene und multifraktionale Brownsche Bewegung mit der Definition von stochastischem Integral und Pfadregelmäßigkeit. Sie entwickelten eine neue mathematische Theorie zur Verwendung bei der Untersuchung von Zufallsfeldern mit Abhängigkeit von Raum und Zeit, wie bei Multifraktionalität erforderlich. Als nächstes definierten und analysierten die Forscher die Eigenschaften von zwei verschiedenen multifraktionalen Prozessen, um die weitere Modellentwicklung zu unterstützen. Eine Reihe von Annäherungen wurden auch gewonnen, einschließlich glatter Annäherungen von stochastischen Differentialgleichungen mit fraktionalen und multifraktionalen Störungen, um das Modell numerisch behandeln zu können. Um die Nützlichkeit des Modells bei statistischen Anwendungen zu bewerten, entwickelten die Forscher eine Theorie zum Schätzen von Skalierungsfunktionen und testeten sie an realen Finanzdaten. Mono- und multifraktale Modelle wurden geprüft, was zur Lösung praktischer Probleme im Zusammenhang mit Preisgestaltung und Absicherung führte. Verschiedene Prozesse der Brownschen und fraktionierten Brownschen Bewegung wurden mithilfe von partiellen Differentialgleichungen untersucht. Ein wichtiger Nachweis besagte, dass partielle Differentialgleichungen wie die Wellengleichung und Wärmegleichungen höherer Ordnung den Gesetzen der interaktiven Prozesse folgen. Die im Rahmen von MULTIFRACTIONALITY untersuchten Probleme der fraktionierten Brownschen Bewegung und von stochastischen partiellen Differentialgleichungen wurden in vier Workshops diskutiert. Die vielen spannenden Erkenntnisse wurden in 37 Publikationen und 33 Präsentationen auf Konferenzen und wissenschaftlichen Seminaren vorgestellt. MULTIFRACTIONALITY führte zu Innovationen bei der Modellierung stochastischer Systeme und insbesondere von gebrochener Brownscher Bewegung. Mögliche Anwendungen sind relevant für die Bereiche Biologie, Medizin, Netzwerkforschung, Physik und Finanzen.