Modelos multifractales para simular el comportamiento aleatorio

El movimiento browniano fraccional se ha convertido en un modelo popular para describir fenómenos dependientes a corta y larga distancia en campos tan distintos como la física y las matemáticas financieras. Un grupo de investigadores financiado por la Unión Europea ha desarrollado métodos estadísticos y procedimientos de simulación para describir su comportamiento estocástico.

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Para describir lo que también se denomina paseo aleatorio, se han utilizado las matemáticas. El movimiento browniano fraccional consiste en pasos en una dirección aleatoria tal que la longitud del paso tiene un valor característico. En particular, se ha diseñado una familia de funciones aleatorias gaussianas para una gran cantidad de series destinadas a describir sus propiedades sorprendentes. Una característica esencial del movimiento browniano es que, si se amplía una parte de estas funciones, se obtiene un paseo aleatorio parecido en la zona ampliada. Ampliar el análisis a la denominada multifraccionalidad permite evaluar propiedades que no son constantes sino que varían con el tiempo. Para aplicar conceptos de multifraccionalidad es necesario desarrollar herramientas estadísticas y numéricas innovadoras destinadas a simular y predecir este comportamiento tan complejo. El proyecto MULTIFRACTIONALITY (Multi-parameter multi-fractional Brownian motion) se inició con el fin de desarrollar dichas técnicas. Los investigadores empezaron por enriquecer el cálculo estocástico para el movimiento browniano fraccional y multifraccional con la definición de la integral estocástica y la regularidad de caminos. Desarrollaron una teoría matemática nueva para utilizarla en el estudio de campos aleatorios dependientes del tiempo y el espacio, un requisito de la multifraccionalidad. A continuación, los investigadores definieron y analizaron las propiedades de dos procesos multifraccionales distintos, lo cual ayudó a seguir desarrollando el modelo. También se obtuvieron varias aproximaciones, como las aproximaciones continuas de las ecuaciones diferenciales estocásticas con ruido fraccional y multifraccional para el modelo que se vaya a tratar numéricamente. Con el fin de evaluar la utilidad del modelo para aplicaciones estadísticas, los investigadores desarrollaron una teoría para estimar funciones de escala y la probaron con datos financieros reales. Se probó con modelos monofractales y multifractales que permitieron resolver problemas prácticos relacionados con la fijación de precios y las coberturas. Distintos procesos que constituyen el movimiento browniano y el movimiento browniano fraccional fueron objeto de estudio mediante ecuaciones diferenciales parciales. Es importante destacar que se mostró que las leyes de los procesos iterativos cumplen ecuaciones diferenciales parciales, como la ecuación de ondas y ecuaciones de calor de orden mayor, Los problemas de movimiento browniano y ecuaciones diferenciales parciales estocásticas abordados por MULTIFRACTIONALITY se analizaron en cuatro simposios y sus hallazgos, numerosos y fascinantes, se han publicado en treinta y siete publicaciones y treinta y tres ponencias en congresos y seminarios científicos. MULTIFRACTIONALITY ha permitido avanzar en la modelización de sistemas estocásticos y, en particular, en el movimiento browniano fraccional. Sus posibles aplicaciones son importantes para la biología, la medicina, la investigación sobre redes, la física y las finanzas.