Modele multifraktalne umożliwiające symulację zachowań losowych
Przy pomocy matematyki opisuje się tzw. błądzenie losowe. Ułamkowy ruch Browna składa się z kroków o losowym kierunku, przy czym długość kroku jest wartością charakterystyczną. Wyznaczono rodzinę funkcji losowych Gaussa dla grupy szeregów czasowych, aby opisać ich osobliwe właściwości. Jedną z najważniejszych cech ułamkowego ruchu Browna jest to, że po przybliżeniu obrazu dowolnej części funkcji, w części niepowiększonej powstaje podobne błądzenie losowe. Objęcie analizą również tzw. multiułamkowości pozwala na zbadanie właściwości, które nie są stałe, ale zmieniają się w czasie. Wykorzystanie koncepcji multiułamkowości wymaga opracowania innowacyjnych narzędzi statystycznych i numerycznych pozwalających na symulowanie takich złożonych zachowań. Projekt MULTIFRACTIONALITY (Multi-parameter multi-fractional Brownian motion) powstał w celu opracowania takich właśnie narzędzi. Prace rozpoczęto od wzbogacenia rachunku stochastycznego w odniesieniu do ułamkowego i multiułamkowego ruchu wraz z definicją całki stochastycznej i regularności trajektorii. Sformułowano nową teorię matematyczną, którą można wykorzystać w badaniu pól losowych zależnych od czasu i przestrzeni, co jest warunkiem multiułamkowości. Następnie uczeni określili i przeanalizowali właściwości dwóch różnych procesów multiułamkowych, które pomogą w dalszym opracowywaniu modelu. Uzyskano też szereg przybliżeń, w tym przybliżenia gładkie stochastycznych równań różniczkowych z szumem ułamkowym i multiułamkowym, umożliwiające numeryczną analizę modelu. Aby ocenić przydatność modelu w zastosowaniach statystycznych, badacze sformułowali teorię estymacji funkcji skalujących i przetestowali ją przy wykorzystaniu prawdziwych danych finansowych. Zbadano kilka modeli jedno- i wieloułamkowych, co pozwoliło na rozwiązanie praktycznych problemów związanych z ustalaniem cen i strategiami zabezpieczającymi. Zbadano różne procesy składające się na ruch Browna i ułamkowy ruch Browna, wykorzystujące równania różniczkowe cząstkowe. Co ważne, wykazano, że równania różniczkowe cząstkowe, podobnie jak równania falowe i równania przewodnictwa ciepła wyższego rzędu, spełniają warunki procesów iterowanych. Problemy dotyczące ułamkowego ruchu Browna i stochastycznych równań różniczkowych cząstkowych podjęte w projekcie MULTIFRACTIONALITY badano na czterech warsztatach. Liczne rezultaty omawianych prac przedstawiono w 37 publikacjach i 33 prezentacjach wygłoszonych na konferencjach i seminariach naukowych. Dzięki projektowi MULTIFRACTIONALITY powstały innowacyjne rozwiązania w zakresie modelowania układów stochastycznych, a w szczególności ułamkowego ruchu Browna. Mogą one znaleźć zastosowanie w biologii, medycynie, badaniach nad sieciami, fizyce czy finansach.
Słowa kluczowe
Ułamkowy ruch Browna, matematyka finansowa, zachowanie stochastyczne, błądzenie losowe, MULTIFRACTIONALITY
