Des modèles multifractaux pour simuler un comportement aléatoire

Le mouvement brownien fractionnel est devenu un modèle populaire pour les phénomènes dépendants de courte et longue portée dans des domaines aussi divers que la physique et les mathématiques financières. Des chercheurs financés par l'UE ont développé des méthodes statistiques et des procédures de simulation pour décrire leur comportement stochastique.

Technologies industrielles

Les mathématiques ont été utilisées pour décrire ce qui est également connu sous le nom de cheminement aléatoire. Le mouvement brownien fractionnel se compose d'étapes dans une direction aléatoire avec une longueur de pas qui a une valeur caractéristique. De manière spécifique, un ensemble de fonctions aléatoires gaussiennes ont été désignées pour un hôte d'une série temporelle afin de décrire leurs propriétés curieuses. Un élément clé d'un mouvement brownien fractionnel est que si l'on se focalise sur une partie de ces fonctions, un cheminement aléatoire similaire est produit dans la partie examinée. Étendre l'analyse de la multi-fractionnalité permet l'évaluation de propriétés qui ne sont pas constantes mais varient avec le temps. L'application des concepts de multi-fractionnalité requiert le développement d'outils statistiques et numériques innovants pour simuler et prédire un comportement aussi complexe. Le projet MULTIFRACTIONALITY (Multi-parameter multi-fractional Brownian motion) a été initié pour développer ces techniques. Les chercheurs ont commencé par enrichir le calcul stochastique pour le mouvement brownien fractionnel et multi-fractionnel avec la définition de l'intégrale stochastique et la régularité du chemin. Ils ont développé une nouvelle théorie mathématique pour utilisation dans l'étude des champs aléatoires avec dépendance du temps et de l'espace comme requis par la multi-fractionnalité. Ensuite, les chercheurs ont défini et analysé les propriétés de deux processus multi-fractionnels différents pour aider au développement du modèle. Une série d'approximations ont également été obtenues, dont des approximations souples des équations différentielles stochastiques avec bruit fractionnel et multi-fractionnel pour le modèle à traiter numériquement. Pour évaluer l'utilité du modèle dans les applications statistiques, les chercheurs ont développé une théorie d'estimation des fonctions d'échelle et l'ont testée sur des données financières réelles. Des modèles monofractaux et multi-fractaux ont été envisagés, conduisant à la solution de problèmes pratiques liés à la tarification et à la couverture. Différents processus composant le mouvement brownien et brownien fractionnel ont été étudiés à l'aide d'équations différentielles partielles. Plus important, il a été démontré que les équations différentielles partielles comme l'équation d'onde et les équations de chaleur d'ordre supérieur sont satisfaites par les lois des processus itérés. Les problèmes du mouvement brownien fractionnel et des équations différentielles partielles stochastiques traités dans MULTIFRACTIONALITY ont été abordés dans quatre ateliers. Les nombreuses découvertes intéressantes ont été présentées dans 37 publications et 33 présentations effectuées lors de conférences et de séminaires scientifiques. MULTIFRACTIONALITY a conduit à des innovations dans la modélisation des systèmes stochastiques et, en particulier, le mouvement brownien fractionnel. Les applications potentielles sont intéressantes pour la biologie, la médecine, la recherche réseau, la physique et la finance.