Les mathématiques offrent une nouvelle perspective sur les phases topologiques de la matière
Le monde tel que nous le percevons chaque jour pourrait facilement nous donner l’impression que la matière ne peut se présenter que sous trois phases différentes: solide, liquide et gazeuse. Mais la vérité s’avère plus complexe qu’il n’y paraît. Comme le démontrent les recherches les plus récentes sur les phases topologiques de la matière, récompensées par le prix Nobel de physique en 2016, il existe un nombre vertigineux de phases exotiques de la matière qui attendent patiemment d’être étudiées. Quand les chercheurs découvrent de nouveaux états de la matière, la première question qui leur vient à l’esprit consiste à savoir s’il est possible de répertorier et de regrouper ces états en fonction de leurs propriétés. «En d’autres termes, il est intéressant et utile de pouvoir classer les différentes phases topologiques. Cela permet de distinguer entre eux des systèmes inconnus et nous donne une meilleure idée de ce qui peut être fait avec ces systèmes», explique le Dr Pieter Naaijkens, mathématicien qui a coordonné le projet entre l’Université RWTH d’Aix-la-Chapelle et l’Université de Californie à Davis. C’est intéressant pour les mathématiciens souhaitant mettre en évidence les fondements mathématiques de l’ordre topologique, mais aussi pour des applications concrètes comme l’informatique quantique. Les nouvelles phases topologiques devraient constituer l’une des clés permettant de mettre au point des ordinateurs quantiques évolutifs, en les protégeant des erreurs dues aux interactions indésirables avec l’environnement. Les propriétés topologiques peuvent être utilisées afin qu’une mémoire intrinsèquement stable stocke un état quantique pendant une longue durée, ou pour les calculs utilisant les anyons, une excitation du système dont le comportement s’apparente à celui d’une (quasi-) particule. Pour y parvenir, les chercheurs ont besoin d’une meilleure compréhension mathématique des systèmes susceptibles d’entraîner des réactions anyoniques. Quelles sont les propriétés des anyons? Leur stabilité intrinsèque répond-elle aux attentes liées à leur nature topologique? «L’un de nos principaux résultats montre que c’est effectivement le cas pour certains modèles: si nous perturbons le système en douceur, les propriétés des anyons ne changent pas», déclare le Dr Naaijkens. À un niveau plus fondamental, le projet OATP a cherché à dresser la liste des différents types de phases topologiques possibles et des excitations anyoniques qui leur sont associées, ainsi qu’à identifier les phases les plus adaptées pour une utilisation en informatique quantique. «Nous fournissons un cadre mathématique précis pour étudier les phases topologiques, permettant de calculer les propriétés anyoniques de manière systématique à partir du système quantique sous-jacent. Il est ainsi possible d’appliquer un large éventail de techniques mathématiques puissantes, qui ne sont pas toujours disponibles lorsque l’on utilise des arguments plus heuristiques», explique le Dr Naaijkens. Selon le Dr Naaijkens, avoir obtenu, pour la première fois, une preuve mathématique aussi rigoureuse de la stabilité des propriétés des anyons dans les modèles doubles quantiques abéliens constitue le résultat le plus important du projet. Concrètement, l’équipe a été capable de démontrer que, dans ces modèles, les possibles excitations anyoniques et leurs propriétés ne changent pas quand on perturbe la dynamique du système sous-jacent, tant que la perturbation n’est pas trop importante. «Même si notre démonstration n’est valable que pour une classe restreinte de modèles, elle ouvre clairement la voie de la généralisation à une classe de modèles plus étendue», explique le Dr Naaijkens. Maintenant que le projet est terminé, le Dr Naaijkens espère que ses résultats apporteront des perspectives nouvelles pour l’étude des phases topologiques, en particulier du point de vue mathématique. «À mon avis, cela est essentiel pour mieux comprendre les mécanismes sous-jacents responsables des propriétés topologiques de tels systèmes», conclut-il.
Mots‑clés
OATP, mathématiques, calcul quantique, ordre topologique, anyons