Une étude livre des indices sur la géométrie cachée de catégories mathématiques essentielles
Pratiquement toutes les branches des mathématiques modernes peuvent être décrites en termes de catégories mathématiques. Leur étude offre une «vue aérienne» des mathématiques. Bien qu’une telle étude ne révèle pas directement d’informations concernant des propriétés spécifiques, elle permet toutefois d’identifier des relations (morphismes) entre leurs objets, qu’il serait sans cela difficile de détecter au niveau du sol. Représentant des abstractions d’autres concepts mathématiques, les catégories mettent souvent en évidence de profondes connaissances ainsi que des similitudes entre des domaines apparemment différents, comme l’algèbre, la géométrie algébrique, la théorie de l’homotopie et la théorie des représentations.
Appréhender les catégories au travers d’un prisme différent
Les catégories sont souvent «équipées» d’opérations supplémentaires qui permettent de construire de nouveaux objets à partir d’objets donnés. On pourrait les qualifier de catégories chromatiques. En allant plus loin, il est possible de construire de nouvelles catégories chromatiques à partir d’anciennes catégories. «Le projet ChromoCats, financé par l’UE, part du constat selon lequel les catégories chromatiques sont elles-mêmes des objets géométriques, leur structure géométrique restant pourtant à découvrir», explique Tobias Barthel, coordinateur de ChromoCats. Les catégories chromatiques, par analogie à un prisme qui disperse les couleurs spectrales constitutives de la lumière blanche, se décomposent dans un espace – appelé spectre de Balmer – en catégories locales ou monochromatiques. Cette analogie permet d’en découvrir davantage sur leur structure géométrique. La géométrie d’une catégorie chromatique constitue un outil puissant pour l’étude des objets eux-mêmes et de leurs relations, et elle permet également de passer d’un domaine mathématique à un autre. «Elle nous permet de faire appel à l’intuition géométrique pour repérer de nouveaux motifs dans les catégories chromatiques essentielles, comme par exemple les principes de type local-global – pour comprendre comment de telles catégories peuvent être construites à partir de leurs éléments locaux. Si on prend l’analogie du prisme, elle nous permet d’étudier comment la lumière blanche est assemblée à partir de ses couleurs spectrales ou ce qui arrive à la partie ultraviolette ou infrarouge du spectre», ajoute Tobias Barthel.
Un nouveau cadre mathématique puissant
Les chercheurs ont développé un cadre innovant qui décompose une catégorie chromatique – plus précisément, une catégorie monoïdale symétrique à l’infini – en un paquet de catégories locales sur son spectre de Balmer. La méthode théorique met en lumière trois aspects clés de la géométrie d’une catégorie chromatique: sa structure locale, ses principes de type local-global et ses compactifications. «Notre théorie ne se base que sur quelques concepts fondamentaux, et évolue ensuite selon les mêmes lignes que celles de la géométrie algébrique moderne. En d’autres termes, elle est de nature réellement géométrique. Elle nous permet d’adopter un raisonnement géométrique dans des problèmes sans structure géométrique évidente, ce qui débouche entre autres sur de nouveaux outils de calcul puissants», fait remarquer Tobias Barthel. Il existe un exemple universel de catégorie chromatique, connu sous le nom de spectres finis. En s’appuyant sur les remarquables travaux menés par Devinatz, Hopkins et Smith dans les années 1980, Tobias Barthel et ses collaborateurs ont amélioré la compréhension d’une variante plus complexe de cette catégorie avec des symétries supplémentaires. Plus précisément, ils ont déterminé le spectre de Balmer de la catégorie d’homotopie stable G-équivariante pour tout groupe abélien fini G, et plus généralement, pour tous les groupes de Lie compacts. Pour finir, les chercheurs ont élaboré des compactifications de catégories chromatiques par le biais d’une catégorisation d’ultraproduits issus de la logique mathématique. Cela permet de résoudre le problème de l’algébrisation dans l’homotopie chromatique. Au bout du compte, le cadre ChromoCats, rendu possible grâce au soutien du programme Actions Marie Skłodowska-Curie, fournit une description systématique de la géométrie des catégories chromatiques, aboutissant à des progrès significatifs concernant des conjectures exceptionnelles en algèbre et en topologie.
Mots‑clés
ChromoCats, catégories chromatiques, géométrie, algèbre, spectre de Balmer, topologie, principe local-global, compactification