Kombination algebraischer Geometrie mit Computerdesign
Die Schnittpunkte von Kurven oder Oberflächen können für exakt definierte algebraische Oberflächen mit wenigen Ebenen einfach berechnet werden. Beispielsweise gibt es geschlossene Ausdrücke für Schnittpunkte zweier Geraden, die sich transversal schneiden. Bei algebraischen Oberflächen mit mehr als drei Ebenen wie sie im Computer Aided Design (CAD) verwendet werden, sind exakte Darstellungen geformter Oberflächen dagegen schwer zu implementieren. Aufgrund der explodierenden Anzahl an Koeffizienten erweisen sich CAD-Algorithmen als unzureichend für die erforderliche Präzision, außer bei übermäßig hoher Rechenlast. Dies führt zu äußerst kostenintensiven Vorgängen für industrielle Anwendungen wie das Produktdesign. Vor diesem Hintergrund war es das Ziel des GAIA II-Projektes, die Algorithmen für Schnittpunkte in CAD-Systemen durch eine einzigartige Kombination aus CADG (Computer Aided Geometric Design) und herkömmlicher algebraischer Geometrie zu verbessern. Einer der innovativen Bereiche der Projektarbeit waren Techniken zur approximativen Implizitisierung, die anschließend in Softwareprototypen implementiert wurden. Genauer gesagt verfolgen die Software-Tools den bewährten Ansatz der Multiplikation von Polynomen und einen Sample-basierten Ansatz in Verbindung mit einem neuen Ansatz für die stückweise approximative Implizitisierung. Die Softwareprototypen wurden getestet und als wertvolle Tools bei der Trennung beinahe paralleler Kurven und Oberflächen in CAD-Schnittpunktalgorithmen angesehen. Weiterhin gibt es umfassendes Potenzial für den Einsatz dieser Tools bei der Erkennung von Schnittpunkten in CAD-Kurven und -Oberflächen mit sich selbst. Der verfolgte Ansatz kann herkömmliche CAD-Techniken bei der Lösung von Abhängigkeiten eines CAD-Oberflächendesigns auf gekrümmten Flächen und weiter bei der Entwicklung und Bearbeitung von 3D-Freiformkurven unterstützen. Die Softwareprototypen wurden bereits auf verschiedenen Konferenzen und in wissenschaftlichen Zeitschriften vorgestellt. Sie sind zudem für die nicht-kommerzielle Verwendung unter der Open Source General Public Licence (GPL) für die akademische Forschung oder für industrielle Tests verfügbar. Sowohl Software als auch Dokumentation sind über die Projektwebsite abrufbar: http://www.sintef.no/IST_GAIA
