Jak badanie układów dynamicznych pozwala nam lepiej zrozumieć chaos kwantowy
Jeden z działów matematyki, teoria układów dynamicznych, zgłębia ewolucję układów zmieniających się w miarę upływu czasu. Włączając do tego podejścia tak zwaną „zasadę ewolucji”, naukowcy powinni być w stanie przewidzieć dalszy rozwój zjawisk w oparciu o ich aktualny stan. Prognozy te mogłyby przynieść korzyści wielu dziedzinom poza matematyką, w tym fizyce, biologii, chemii, inżynierii, ekonomii i medycynie. Finansowany z funduszy UE projekt LDMRD (Large Deviations and Measure Rigidity in Dynamics) powstał po to, aby prowadzić prace nad nowymi narzędziami w zakresie teorii układów dynamicznych, jednocześnie odkrywając zastosowania w problemach związanych z fizyką matematyczną, geometrią i arytmetyką. Jednym z głównych celów projektu było dokładniejsze zbadanie „sztywności metrycznej”, która może być pomocna przy pomiarach precyzyjnych w sytuacjach, gdy więcej niż jeden układ dynamiczny przejawia znacznie zróżnicowane zachowania w miarę upływu czasu. Zastosowanie narzędzi Tak zwana „zasada ewolucji” w teorii układów dynamicznych jest w dużej mierze deterministyczna, co oznacza, że – wyłącznie w pewnym okresie – jeden przyszły stan wynika ze stanu aktualnego. Niektóre układy są jednak bardziej chaotyczne, co przejawia się tym, że losowe zdarzenia zewnętrzne mogą mieć rzeczywisty wpływ na wyniki wewnątrz układu. To właśnie z tej przyczyny teoria układów dynamicznych okazała się mieć szczególnie duże zastosowanie w dziedzinie mechaniki kwantowej. Jak objaśnia koordynator projektu LDMRD, dr Tuomas Sahlsten: „Jest ona szczególnie przydatna w badaniach układów charakteryzujących się »chaotycznością«, która przejawia się tym, że dwa systemy mogą ewoluować w radykalnie różnych kierunkach, nawet jeżeli na początku są zbliżone”. Narzędzia potrzebne do badań nad sztywnością metryczną w układach dynamicznych (w oparciu o prace Bernarda Hosta w latach 90. XX wieku) wciąż pozostawały z tyłu w porównaniu z tymi dostępnymi obecnie, dlatego uczestnicy projektu musieli zasięgnąć wiedzy z pokrewnych dyscyplin nauki. Inspiracji szukali oni w teorii liczb, teorii reprezentacji, chaosie kwantowym i innych obszarach. Produktem ubocznym tego procesu było odkrycie zastosowania projektu w dziedzinie mechaniki kwantowej, co doprowadziło do powstania nowego twierdzenia termodynamicznego chaosu kwantowego, łączącego koncepcje z zakresu dużych sieci. Funkcjonowanie dużych sieci, takich jak big data, sieci społecznościowe lub konwolucyjne sieci neuronowe w modelach sztucznej inteligencji – pomimo tego, że są one obecnie w powszechnym użyciu – nie zostało jeszcze ujęte w odpowiednich teoriach. Jedno z tradycyjnie przyjmowanych podejść zakłada zastosowanie teorii spektralnej, a zespołowi LDMRD udało się zdobyć nowe informacje na temat właściwości spektralnych powierzchni wielkoskalowych, będących analogowym odpowiednikiem wielkoskalowych sieci. Jak zauważa dr Sahlsten: „Odkrycie związku z mechaniką kwantową było zdecydowanie najbardziej zaskakującym i ekscytującym aspektem tego projektu. Czasami przed rozpoczęciem pracy trudno jest przewidzieć, jakie odkrycia przyniesie proces badawczy”. Dokładniejsze zrozumienie chaosu kwantowego Lepsze poznanie chaosu kwantowego sprawiło, że projekt wniósł znaczący wkład w zrozumienie ewolucji stanów kwantowych w chaotycznych układach dynamicznych, postrzeganej w perspektywie długoterminowej. Ponieważ badania prowadzone były z czysto matematycznego punktu widzenia, ich bezpośredni wpływ najbardziej odczuje społeczność naukowa zajmująca się mechaniką kwantową. Jednak ze względu na to, że społeczność ta odgrywa ważną rolę w realizacji współczesnego postępu naukowego i rozwoju technologii – od badań nad pogodą i klimatem po inżynierię komputerową – w sposób pośredni projekt przyczyni się także do innych znaczących zmian. Określając plany na przyszłość, dr Sahlsten mówi: „Kolejnym ważnym krokiem jest dalsza praca nad zagadnieniami związanymi z chaosem kwantowym, które czekają teraz na zbadanie po naszych kluczowych odkryciach, wspólnie z Etienne Le Masson. Nasze działania przetarły nowy kierunek i być może doprowadzą do znacznie głębszego zrozumienia teorii funkcjonowania dużych sieci”.
Słowa kluczowe
LMRD, matematyka, mechanika kwantowa, chaos, układy dynamiczne, sieci termodynamiczne, sztywność metryczna