Donner un sens mathématique aux situations chaotiques
Le chaos est mathématiquement défini comme une situation qui présente une très grande sensibilité aux conditions initiales. L'«effet papillon» en est l'exemple le plus connu: tout paramètre, quel que soit sa taille, peut apporter un changement; ainsi un simple battement d'ailes d'un papillon en Australie peut déclencher une tornade en Europe. Les systèmes dynamiques représentent l'approche mathématique de l'étude du chaos. Le projet DYNEURBRAZ («Dynamical complex systems»), financé par l'UE, visait à étudier des systèmes de faible complexité ou désordre et d'autres plus complexes, à savoir des systèmes à entropie positive. En outre, le projet s'est penché sur des systèmes où une perturbation peut radicalement modifier la dynamique. Certains des résultats du projet DYNEURBRAZ concernaient notamment la notion des transitions de phase, par exemple quand l'eau qui bout se transforme en vapeur d'eau. Toutefois, le principal résultat du projet a porté sur la classification des nombres et leur enregistrement dans des bases autres que la base 10 normale. Dans son étude des systèmes plus complexes, l'équipe du projet a quantifié la fréquence selon laquelle un système hyperbolique est choisi de façon aléatoire parmi tous les systèmes possibles disponibles. La théorie des bifurcations est l'étude mathématique des changements, tels que ceux dans les solutions d'une famille d'équations différentielles. Le projet a posé les bases d'une théorie des bifurcations pour les systèmes dynamiques aléatoires, qui concernent de près de nombreuses applications. Dans le cadre du projet DYNEURBRAZ, maintenant achevé, une autre théorie mathématique a été élaborée pour l'émergence de synchronisation dans les réseaux de systèmes dynamiques en vue de décrire, par exemple, des interactions neuronales. Ce résultat pourrait contribuer à expliquer certains des phénomènes paradoxaux qui sont observés dans l'enregistrement de l'activité cérébrale.
