Nuove descrizioni matematiche sono a una svolta
La matematica (formalmente lo studio di numeri, forme e spazio) ci fornisce un linguaggio che usiamo per descrivere il mondo che ci circonda. La geometria è la branca della matematica che si concentra sulla relazione tra punti, linee, curve e superfici. Con il sostegno delle azioni Marie Skłodowska-Curie (MCSA), il progetto ISOPARAMETRIC si prefigge di indagare su un classe specifica di superfici (ipersuperfici isoparametriche) che hanno suscitato un notevole interesse negli ultimi vent’anni.
Curve ovunque
Il coordinatore del progetto, Alberto Enciso, dell’Institute of Mathematical Sciences – ICMAT spiega: «In parole povere, un’ipersuperficie isoparametrica è una forma geometrica liscia che si curva allo stesso modo ovunque. Un cerchio, un piano e la superficie di una sfera o di un cilindro sono gli esempi più elementari di ipersuperfici isoparametriche. Questi oggetti si trovano nello spazio bidimensionale e tridimensionale e sono massimamente simmetrici: gli oggetti sembrano uguali da un numero massimo di punti di vista diversi». Enciso continua delineando ciò che accade spostandosi verso dimensioni superiori. «Troviamo ipersuperfici isoparametriche molto interessanti e piuttosto complicate che non sono così simmetriche come ci si potrebbe aspettare». Le superfici isoparametriche si trovano in fisica e matematica. Ad esempio, le forme di equilibrio dei fluidi auto-gravitanti nella meccanica dei fluidi sono superfici isoparametriche e c’è una connessione inaspettata tra numeri primi e oggetti correlati chiamati foliazioni isoparametriche. Il borsista MCSA Miguel Domínguez-Vázquez, ora presso l’Università di Santiago de Compostela, ha studiato queste affascinanti superfici da varie prospettive.
La soluzione a molti problemi
Molti problemi scientifici sono modellati da equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) che coinvolgono derivate, velocità di variazione di una variabile rispetto ad altre. Alcune di queste equazioni potrebbero non avere soluzioni, come nel caso di molti problemi di valore di frontiera sovradeterminati delle EDP, un’area di ricerca fondamentale negli ultimi 50 anni. Il termine «sovradeterminato» significa che ci sono più equazioni che incognite e quindi spesso non hanno soluzione. Enciso e Domínguez-Vázquez hanno portato avanti questo importante settore: «Tra i nostri risultati significativi si colloca la dimostrazione dell’esistenza di soluzioni a problemi di valore di frontiera sovradeterminati delle EDP in contesti molto generali nonché la dimostrazione che, in determinate circostanze, tali soluzioni sono correlate a ipersuperfici isoparametriche. Inoltre, abbiamo sviluppato una comprensione completa di (iper)superfici isoparametriche in alcuni importanti spazi non piatti di tre dimensioni, dimostrando che in questi casi le superfici isoparametriche sono davvero massimamente simmetriche». Si prevede che i risultati di ISOPARAMETRIC troveranno un’applicazione futura per ottenere risultati di esistenza o inesistenza per ipersuperfici isoparametriche in generale, oltre a permettere di comprendere appieno le superfici isoparametriche nei cosiddetti «spazi omogenei di dimensione 3». Probabilmente saranno anche usati per gestire flussi incomprimibili.
Un nuovo modo di considerare le ipersuperfici isoparametriche
Le ipersuperfici isoparametriche sono state generalmente studiate con metodi geometrici algebrici e differenziali, in cui la geometria differenziale classica si occupa di curve e superfici nello spazio euclideo tridimensionale. Domínguez-Vázquez conclude: «La cosa più eccitante di questo progetto è stata l’avvio di un nuovo filone di ricerca che ha richiesto l’apprendimento di una diversa area della matematica. ISOPARAMETRIC ha studiato le ipersuperfici isoparametriche e gli oggetti correlati combinando questi metodi “classici” con tecniche più analitiche». Chiaramente, una ripida curva di apprendimento ha portato a risultati importanti riguardo a queste affascinanti superfici che si curvano allo stesso modo ovunque.
Parole chiave
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