Forschungsanstrengungen zu einer Strukturtheorie für Minoren gerichteter Graphen
Graphen sind mathematische Strukturen, die als einfache Modelle zur Darstellung von Phänomenen der realen Welt dienen. Sie werden oft verwendet, um Algorithmen für die Steuerung vieler Anwendungen zu entwickeln. Graphen können sehr unterschiedliche Formen und Größen haben. Die algorithmische Graphenstrukturtheorie erlaubt es, diejenigen Strukturen zu identifizieren, die sich am besten eignen, um die Rechenleistung und Effizienz zu verbessern. „Dass Baumgraphen effektive algorithmische Problemlösungen ermöglichen, ist bereits hinreichend belegt. Doch wie sieht es mit anderen Strukturen aus?“, fragt Projektkoordinator Stephan Kreutzer von der Technischen Universität Berlin, an der das vom Europäischen Forschungsrat finanzierte Projekt DISTRUCT durchgeführt wurde. Ein Unterscheidungsmerkmal von Graphen, das für ihre Funktion von Relevanz ist, ist die Frage, ob es sich um gerichtete oder ungerichtete Graphen handelt. Bei einem ungerichteten Graphen kann eine Linie (sog. Kante) mit zwei Punkten (Knoten) verbunden werden, zwischen denen eine bidirektionale Beziehung besteht. Bei einem gerichteten Graphen entspricht diese Linie eher einem Pfeil mit einer einseitigen Beziehung. Wenn die Knoten Bahnhöfe und die Kanten Bahnschienen repräsentieren, können ungerichtete Graphen dazu dienen, Algorithmen zur Optimierung von Bahnstrecken zu planen. Bei Algorithmen des Lieferkettenmanagements hingegen, wo die Knoten Produktkomponenten repräsentieren, die erst zusammengebaut werden müssen, bevor der nächste Schritt in der Lieferkette beginnen kann, sind gerichtete Graphen besser geeignet. Ein weiterer relevanter struktureller Faktor ist die Frage, ob ein Graph bestimmte Minoren ausschließt (sog. verbotene Minoren). Minoren sind Substrukturen, die aus einem Graphen gebildet werden, indem Kanten und Knoten entfernt und anschließend Kanten kontrahiert werden. Sie sind für Algorithmen von Bedeutung, da sie die Interpolation aus einer zentralen Struktur ermöglichen, um kleinere Strukturen zu erhalten – und das wiederum erweitert die Spanne von Problemen, auf die ein Algorithmus angewendet werden kann. Verbotene Minoren in ungerichteten Graphenstrukturen sind bereits nachgewiesen, deshalb konzentrierte sich das Projekt DISTRUCT auf die Erforschung von Minoren in gerichteten Graphen. „Die Theorie der Minoren von gerichteten Graphen existierte zuvor eigentlich gar nicht. Die Definitionen waren zwar vorhanden, doch es gab keine konzentrierte einschlägige Forschung – eigentlich überraschend, wenn man die tausenden Abhandlungen zu Minoren ungerichteter Graphen bedenkt“, so Kreutzer. „Unsere Ergebnisse tragen dazu bei, die Strukturtheorie für Minoren gerichteter Graphen als unabhängiges und aufstrebendes Forschungsfeld zu etablieren.“
Neue algorithmische Verfahren für gerichtete Graphen
Ungerichtete Graphen mit verbotenen Minoren wurden bereits durch die Strukturtheorie charakterisiert, was schließlich in dem als Satz von Wagner bezeichneten Minorensatz resultierte. Doch ein Pendant für gerichtete Graphen hatte bislang noch gefehlt. Die Charakterisierung des Satzes für die Strukturtheorie für Minoren in ungerichteten Graphen hing allerdings von mehreren Zwischenschritten ab, die zuvor erreicht werden mussten – allen voran der „Excluded-Grid-Satz “, der „Flat-Wall-Satz“ und der „Tangle-Decomposition-Satz“. „Wir wussten, dass ein Beweis des gesamten Satzes im Rahmen von DISTRUCT nicht möglich sein würde – schon diese Zwischenschritte stellten eine immense Aufgabe dar. Unsere wichtigsten Ergebnisse sind daher die auf gerichtete Graphen angepassten Versionen der Zwischenschritte, die ursprünglich zum Satz für ungerichtete Graphen geführt hatten, nämlich unser Flat-Wall-Satz für gerichtete Graphen und unser Tangle-Tree-Decomposition-Satz für gerichtete Graphen“, erklärt Kreutzer. Jeder dieser Zwischensätze ist im Hinblick auf neue Ansätze für das Algorithmendesign bereits an sich relevant. Der Flat-Wall-Satz besagt zum Beispiel, dass ein gerichteter Graph einem Baum entspricht oder eine flache Substruktur wie ein quadratisches Gitter oder eine dichte Substruktur, die sogenannte Clique, enthält. Die Identifikation der Struktur macht es für Programmierende einfacher, den jeweils optimalen Algorithmus zu entwickeln. Das Team stellte fest, dass sich die gerichteten Versionen dieser Zwischensätze von den bereits etablierten ungerichteten Versionen unterschieden, und musste daher neue computergestützte Methoden erarbeiten. „Dank unserer Ergebnisse ist es nun möglich, algorithmische Techniken für gerichtete Graphen zu entwickeln, die zuvor nicht denkbar waren“, so Kreutzer. „Als mathematisches Grundlagenmodell ist dies für ein breites Spektrum von Anwendungen und Forschungsgebieten von den Sozialwissenschaften bis zu den Naturwissenschaften von Nutzen.“ Das Team arbeitet nun daran, den vollständigen Satz für die Strukturtheorie für Minoren gerichtete Graphen zu beweisen.
Schlüsselbegriffe
DISTRUCT, gerichteter Graph, ungerichteter Graph, Algorithmus, Graphenstrukturtheorie, Graphenminor, Minor, Mathematik, mathematisch