Verso un teorema sulla struttura minore dei grafi diretti
I grafi sono strutture matematiche che offrono modelli semplici per rappresentare i fenomeni del mondo reale, e spesso sono usati per progettare gli algoritmi che controllano molte applicazioni. Poiché i grafi sono di varie forme e dimensioni, la teoria della struttura dei grafi algoritmici identifica le strutture più utili per migliorare la velocità e l’efficienza computazionale. «È risaputo che i grafi ad albero permettono un’efficace risoluzione algoritmica dei problemi. Ma che dire di altre strutture?», chiede il coordinatore del progetto, Stephan Kreutzer del Politecnico di Berlino, l’organizzazione che ha ospitato il progetto DISTRUCT, finanziato dal Consiglio europeo della ricerca. Una distinzione tra i grafi, che influenza la loro funzione, riguarda la loro classificazione tra grafi diretti o non diretti. In un grafo non diretto, una linea, chiamata bordo, può essere disegnata per collegare due punti chiamati vertici, che hanno una relazione bidirezionale. In un grafo diretto, questa linea è di solito più simile a una freccia e la relazione si muove in una direzione. Se i vertici rappresentano le stazioni ferroviarie e i bordi i binari, i grafi non diretti possono essere usati per algoritmi di programmazione che ottimizzano i percorsi dei treni. Ma per gli algoritmi di gestione della catena di approvvigionamento, dove i vertici rappresentano i componenti del prodotto da assemblare prima che la fase successiva possa iniziare, i grafi diretti sono più appropriati. Un’altra influenza strutturale sopraggiunge quando si può affermare che un grafo escluda certe strutture «minori». Si tratta di sottostrutture formatesi da un grafo rimuovendo bordi e vertici, quindi contraendo i bordi. Sono importanti negli algoritmi perché essere in grado di estrapolare da una struttura centrale per creare strutture più piccole aumenta enormemente la gamma di problemi a cui un algoritmo può essere applicato. Poiché i minori esclusi nelle strutture a grafo non diretto sono già stati dimostrati in passato, il progetto DISTRUCT ha analizzato i minori nei grafi diretti. «Una vera teoria dei minori nei grafi diretti non esisteva. Le definizioni c’erano, ma mancavano sforzi di ricerca concentrati, cosa sorprendente date le migliaia di articoli sui minori nei grafi non diretti», afferma Kreutzer. «I nostri risultati contribuiscono a fissare la teoria della struttura minore dei grafi diretti come un campo indipendente ed emergente.»
Nuove tecniche algoritmiche dai grafi diretti
Mentre i grafi non diretti con minori esclusi sono stati caratterizzati dalla teoria della struttura, culminata nel teorema dei grafi minori, noto come congettura di Wagner, nulla di paragonabile era stato raggiunto per i grafi diretti. Ma la caratterizzazione del teorema della struttura minore dei grafi non diretti era dipesa dal raggiungimento di una serie di passaggi intermedi, in particolare il «teorema del reticolo escluso», il «teorema del grafo planare» e il «teorema della scomposizione dei grovigli». «Sapevamo che dimostrare l’intero teorema non era possibile nell’ambito di DISTRUCT; persino questi passaggi intermedi sembravano scoraggianti. Pertanto, i nostri risultati più importanti sono versioni dirette dei passaggi intermedi che hanno portato al teorema indiretto, ossia il nostro teorema del grafo planare diretto e il lavoro da noi svolto sulla scomposizione con grafi ad albero diretti», spiega Kreutzer. Ognuno di questi teoremi intermedi è di per sé rilevante per nuovi approcci alla progettazione di algoritmi. Per esempio, il teorema del grafo planare afferma che un grafo diretto assomiglia a un albero, o contiene una sottostruttura planare simile a un reticolo quadrato, oppure una sottostruttura densa conosciuta come «cricca». Identificare la struttura aiuta i programmatori a progettare l’algoritmo più appropriato. Il team ha scoperto che le versioni dirette di questi teoremi intermedi erano diverse dalle versioni non dirette preesistenti, pertanto è stato necessario creare nuove tecniche computazionali. «I nostri risultati permettono di progettare tecniche algoritmiche per i grafi diretti che non erano possibili in precedenza», afferma Kreutzer. «Come modello matematico fondamentale, questo è utile per una vasta gamma di applicazioni e campi di ricerca, dalle scienze sociali a quelle naturali.» Attualmente, il team sta lavorando per dimostrare il teorema della struttura completa relativa ai grafi diretti minori.
Parole chiave
DISTRUCT, grafo diretto, grafo non diretto, algoritmo, teoria della struttura dei grafi, grafo minore, matematica