Nuove intuizioni su spazi lineari parziali altamente simmetrici
In natura, la simmetria è onnipresente. I matematici usano uno strumento chiamato gruppo per catturare questa simmetria attraverso il movimento. Per illustrare questa teoria, un quadrato può essere ruotato di 90 gradi o riflesso dall’alto verso il basso senza alterarne l’aspetto. Ripetendo questo processo, si possono ottenere otto movimenti che preservano la simmetria. Questa composizione di movimenti è un gruppo. «Gli oggetti più simmetrici sono quelli con i gruppi più grandi e tali oggetti sono sorprendentemente rari», ha dichiarato Joanna Fawcett, una borsista Marie Skłodowska-Curie del Dipartimento di Matematica presso l’Imperial College di Londra. «Grazie a questa rarità possiamo elencare tutti questi oggetti e quindi siamo in grado di comprendere meglio l’essenza stessa della simmetria». La ricerca di Fawcett si concentra principalmente sulla teoria dei gruppi, la combinatoria, la geometria discreta e la teoria della rappresentazione. Attraverso il supporto del progetto HSPLS, finanziato dall’UE, ha recentemente condotto una ricerca approfondita su oggetti chiamati spazi lineari parziali (PLS, Partial Linear Space), ovvero una collezione di punti e linee dove ogni linea può essere pensata come un insieme di punti. L’obiettivo era quello di comprendere il PLS per il quale le simmetrie locali nascono sempre da quelle globali.
Tre obiettivi, molte domande
Quando le linee hanno tutte esattamente due punti, i PLS sono chiamati grafici o reti. Matematicamente, un grafico è omogeneo ogni volta che due sottografici appaiono uguali. Questi grafici omogenei sono estremamente rari e sono stati tutti identificati. Ciò a cui Fawcett è interessata sono i sottografici con una struttura specifica, come quelli che appaiono in una collezione X (una proprietà di simmetria chiamata X-omogeneità). «Variando le possibilità per X, possiamo ancora enumerare i grafici omogenei di X e siamo in grado di farlo anche per tutti i PLS, non solo per i grafici?» ha chiesto Fawcett. «Inoltre, il gruppo di un PLS omogeneo è speciale perché ha un piccolo rango, e la nostra comprensione dei gruppi con il 4 o 5 è rimasta incompleta per oltre 30 anni: possiamo rimediare?» Per rispondere a queste domande, la ricerca di Fawcett si è concentrata sul raggiungimento di tre obiettivi principali. In primo luogo, enumerare il PLS omogeneo C, dove C consiste di tutti i PLS collegati; quindi dimostrare la sua congettura che qualsiasi grafico omogeneo C5 contenente quadrati ma non triangoli è omogeneo C, dove C5 consiste nei grafici collegati con un massimo di 5 punti. Infine, completare la classificazione dei gruppi con il rango 4 o 5.
Uno strumento utile per capire la simmetria
Secondo Fawcett, una volta che alcune questioni in sospeso saranno state risolte, lei avrà raggiunto con successo i suoi tre obiettivi: «Combinare i risultati ottenuti in questo progetto con il mio lavoro precedente significa che la nostra comprensione dei grafici omogenei è quasi completa». Fawcett osserva che il suo lavoro sul terzo obiettivo fornirà ai teorici dei gruppi uno strumento utile per comprendere la simmetria. «Ci si sente come se fossimo sulla punta dell’iceberg per capire gli effetti delle scelte per la raccolta X quando si studiano i PLS X-omogenei», aggiunge Fawcett. «Anche se lo studio dell’omogeneità di X nei PLS ha rivelato che questi oggetti hanno ancora più simmetria di quanto credessimo all’inizio, se vogliamo andare a fondo di questo mistero, dobbiamo ancora considerare molte altre possibilità per X in modo più sistematico».
Parole chiave
HSPLS, spazi lineari parziali, Marie Skłodowska-Curie, matematici, simmetria, matematica, teoria dei gruppi
