Neue Erkenntnisse über hochsymmetrische partielle lineare Räume
In der Natur ist Symmetrie allgegenwärtig. In der Mathematik greift man auf „Gruppen“ zurück, um diese Symmetrie über Bewegung abzubilden. Beispielsweise kann ein Quadrat um 90 Grad rotiert oder an einer Achse gespiegelt werden, ohne dass sich seine Form verändert. Wird dieser Vorgang wiederholt, ergeben sich acht symmetrieerhaltende Bewegungen. All diese Bewegungen zusammen bilden eine Gruppe. „Objekte mit der größten Symmetrie haben auch die größten Gruppen – und solche Objekte gibt es erstaunlich selten“, sagt Joanna Fawcett, eine Marie-Skłodowska-Curie-Einzelstipendiatin an der Mathematischen Fakultät des Imperial College London. „Da sie so selten sind, können wir all diese Objekte sammeln und mit ihrer Hilfe die grundlegende Essenz von Symmetrie besser verstehen.“ Fawcetts Arbeiten konzentrieren sich hauptsächlich auf Gruppentheorie, Kombinatorik, diskrete Geometrie und Darstellungstheorie. Mit Unterstützung aus dem EU-finanzierten Projekt HSPLS konnte sie vor Kurzem sogenannte partielle lineare Räume genauer untersuchen, also Mengen von Punkten und Linien, bei denen jede Linie wiederum als Menge von Punkten verstanden werden kann. Dabei wollte sie herausfinden, bei welchen partiellen linearen Räumen immer lokale Symmetrien aus globalen Symmetrien entstehen.
Drei Ziele, viele Fragen
Wenn Linien exakt zwei Punkte umfassen, heißen die partiellen linearen Räume Graphen oder Netze. Mathematisch ist ein Graph immer dann homogen, wenn zwei Teilgraphen identisch aussehen. Es gibt nur äußerst wenige solcher Graphen und es wurden bereits alle gefunden. Fawcett beschäftigt sich nun mit den Teilgraphen mit einer spezifischen Struktur, wie sie in einer Menge X auftreten (diese Symmetrieeigenschaft wird als X-Homogenität bezeichnet). „Wir variieren die Möglichkeiten für X. Können wir dann immer noch die X-homogenen Graphen einzeln ausmachen und können wir das auch für partielle lineare Räume tun und nicht nur für Graphen?“, fragt Fawcett. „Außerdem ist eine Gruppe homogener partieller linearer Räume schon deswegen etwas Besonderes, weil sie einen niedrigen Rang hat. Und unser Verständnis von Gruppen mit Rang 4 oder 5 ist seit über 30 Jahren lückenhaft. Können wir etwas dagegen tun?“ Um diese Fragen zu beantworten, hatten die Forschungsarbeiten von Fawcett drei Kernziele: Erstens die C-homogenen partiellen linearen Räume aufzulisten, wobei C die Menge aller verbundenen partiellen linearen Räume ist. Zweitens die Annahme zu verifizieren, dass jeder C5-homogene Graph, der Quadrate aber keine Dreiecke enthält, C-homogen ist, wobei C5 die Menge aller verbundenen Graphen mit maximal fünf Punkten ist. Und drittens die Klassifizierung der Gruppen mit Rang 4 oder 5 zu vervollständigen.
Ein nützliches Werkzeug, um Symmetrie zu verstehen
Fawcett zufolge wird sie ihre drei Ziele erreichen, es fehlen nur noch einzelne abschließende Arbeiten: „Wenn ich die Ergebnisse aus diesem Projekt mit meinen früheren Arbeiten kombiniere, bekommen wir ein fast vollständiges Bild von C7-homogenen Graphen.“ Fawcett betont, dass ihre Arbeiten am dritten Ziel ein nützliches Werkzeug für die Gruppentheorie liefern werden, um Symmetrie zu verstehen. „Wenn es darum geht, zu verstehen wie sich Entscheidungen bei Menge X auswirken, haben wir bei der Untersuchung von X-homogenen partiellen linearen Räumen wohl gerade die Spitze des Eisbergs erreicht“, ergänzt Fawcett. „Obwohl die Untersuchung der X-Homogenität bei partiellen linearen Räumen gezeigt hat, dass diese Objekte mehr Symmetrie aufweisen als wir gedacht hätten, müssen wir doch noch viele andere Möglichkeiten für X wesentlich systematischer prüfen, wenn wir ihr Geheimnis vollständig lüften wollen.“
Schlüsselbegriffe
HSPLS, partielle lineare Räume, Marie Skłodowska-Curie, Mathematiker, Symmetrie, Mathematik, Gruppentheorie