Nowe spojrzenie na wysoce symetryczne cząstkowe przestrzenie liniowe
W przyrodzie symetria jest zjawiskiem powszechnym. Matematycy wykorzystują tzw. grupy symetrii, aby badać symetrię poprzez ruch. Na przykład, po obróceniu o 90 stopni lub odbiciu lustrzanym kwadrat nie zmienia swojego wyglądu. Powtarzając ten proces, można wykonać osiem ruchów, nie naruszając symetrii. Ten zbiór ruchów nazywany jest grupą. „Obiekty o największej symetrii mają największe grupy i występują zaskakująco rzadko”, mówi Joanna Fawcett, stypendystka programu „Maria Skłodowska-Curie” z Wydziału matematyki Imperial College London. „Rzadkość ta powoduje, że znamy wszystkie te obiekty i możemy dokładniej zrozumieć naturę symetrii”. Fawcett koncentruje się w swoich badaniach przede wszystkim na teorii grup, kombinatoryce, geometrii dyskretnej i teorii reprezentacji. Dzięki finansowanemu przez UE projektowi HSPLS uczona przeprowadziła niedawno dogłębne badania nad obiektami zwanymi cząstkowymi przestrzeniami liniowymi (ang. „partial linear spaces”, PLS), czyli zbiorem punktów i linii, z których każda linia może być traktowana jako zbiór punktów. Celem było zrozumienie PLS, w których lokalne symetrie zawsze wynikają z symetrii globalnych.
Trzy cele, wiele pytań
Gdy wszystkie linie mają dokładnie dwa punkty, PLS są nazywane grafami lub sieciami. W matematyce mówi się, że graf jest jednorodny, gdy dwa podgrafy wyglądają tak samo. Te jednorodne grafy są niezwykle rzadkie, a naukowcom udało się zidentyfikować je wszystkie. Fawcett interesuje się podgrafami o określonej strukturze, takimi jak te pojawiające się w zbiorze X (właściwość symetrii zwana X-jednorodnością). „Czy możemy, zmieniając możliwości dla X, wyliczyć grafy X-jednorodne, a także czy możemy to zrobić dla wszystkich PLS, a nie tylko dla grafów?”, pyta Fawcett. „Co więcej, grupa jednorodnej PLS jest szczególna, ponieważ ma małą rangę, a nasze rozumienie grup o randze 4 lub 5 pozostaje niepełne od ponad 30 lat – czy możemy temu zaradzić?”. Aby odpowiedzieć na te pytania, Fawcett skupiła się na realizacji trzech głównych celów. Pierwszym z nich było wyliczenie C-jednorodnej PLS, gdzie C składa się ze wszystkich połączonym PLS. Następnie udowodnienie tezy, zgodnie z którą każdy C5-jednorodny graf zawierający kwadraty, a nie trójkąty, jest C-jednorodny, gdzie C5 to połączone grafy z co najwyżej 5 punktami. Na koniec pozostało uzupełnienie klasyfikacji grup o rangę 4 lub 5.
Przydatne narzędzie do badania symetrii
Jak twierdzi Fawcett, te trzy cele uda jej się zrealizować po znalezieniu kilku niewiadomych: „Połączenie rezultatów uzyskanych w tym projekcie z moimi wcześniejszymi pracami oznacza, że nasze rozumienie grafów C7-jednorodnych jest prawie kompletne”. Fawcett zauważa, że jej praca nad trzecim z celów dostarczy teoretykom grup użytecznego narzędzia do badania symetrii. „Wydaje się, że to czubek góry lodowej, jeżeli chodzi o zrozumienie skutków wyborów dotyczących zbioru X podczas badania X-jednorodnych PLS”, dodaje Fawcett. „Chociaż badanie X-jednorodności w PLS pokazało, że obiekty te mają jeszcze większą symetrię, niż początkowo sądziliśmy, to jeśli chcemy dotrzeć do sedna tej zagadki, musimy jeszcze przeanalizować wiele innych możliwości dla X w bardziej systematyczny sposób”.
Słowa kluczowe
HSPLS, cząstkowe przestrzenie liniowe, działanie „Maria Skłodowska-Curie”, matematycy, symetria, matematyka, teoria grup