Zunifikowana teoria analizy metrycznej pomaga odkryć struktury wewnątrz danych
Pomiary stanowią narzędzie, dzięki któremu rozumiemy wiele aspektów otaczającego nas świata, a metryka to gałąź matematyki służąca do pomiaru odległości pomiędzy punktami w układach geometrycznych. Analiza metryczna pozwala naukowcom na badanie problemów dotyczących zrozumienia struktury przestrzeni nieregularnych, nazywanych „nieizotropowymi”, w których wykluczony jest ruch w określonych kierunkach poprzez pewne ograniczenia. Najlepszym przykładem mogą być ruchy robotów, zazwyczaj ograniczone przez fizyczną relację pomiędzy częściami. Analiza metryczna okazuje się jednak niewystarczająca do pełnego opisu i wyjaśnienia ruchu we wszystkich układach w czasie i przestrzeni. Finansowany przez UE projekt MANET (Metric Analysis for Emergent Technologies) powstał w celu opracowania jednolitej teorii analizy metrycznej, która mogłaby stanowić odpowiedź na znane problemy matematyczne, jak dotąd nierozwiązywalne przy zastosowaniu jednostkowego podejścia. W ramach projektu opracowano nowe instrumenty do analizy metrycznej, mające zastosowanie do szerokiego spektrum nowych technologii, ze szczególnym uwzględnieniem systemów wizyjnych, modelów mózgu i dynamiki ruchu. Geometria otoczenia Wyjaśniając założenia projektu MANET, jego koordynatorka prof. Giovanna Citti mówi: „Matematyka jest językiem nauk ścisłych, jednak pomimo dużej ilości danych generowanych przez nowe technologie, z różnych dziedzin nauki, wciąż nie zawsze rozumiemy podstawowe struktury różnych zjawisk. W projekcie MANET opracowaliśmy narzędzia do analizy metrycznej, które mierzą geometrię biologicznych i złożonych systemów”. W poszukiwaniu jednolitej teorii uczestnicy inicjatywy MANET zastosowali do otwartych problemów matematycznych różne podejścia, takie jak teoria pomiarów geometrycznych i teoria minimalnych powierzchni. Zespół był w szczególności zainteresowany badaniem tak zwanych „zdegenerowanych równań różniczkowych cząstkowych (PDE)”. Są to równania, które mogą opisywać związek pomiędzy funkcją danego zjawiska a jego szybkością zmian – jeśli posiada nieznaną liczbę zmiennych. Podejście to jest często wykorzystywane do wyjaśnienia zjawisk takich jak ciepło czy dźwięk. Jak wyjaśnia prof. Citti: „W projekcie MANET użyto bardzo wyrafinowanych instrumentów do badania pozornie różnych problemów, takich jak ludzki wzrok i przepływ ruchu ulicznego. Z matematycznego punktu widzenia struktury te dają się opisać w podobny sposób”. Przydatne w badaniach teoretycznych i stosowanych Zunifikowana teoria MANET pozwoliła na dokładniejsze poznanie struktury i funkcji części mózgu odpowiedzialnych za percepcję. W szczególności badania dotyczyły iluzji wzrokowych oraz zdolności mózgu do rozpoznawania „jednostek percepcyjnych”, grupujących dużą liczbę elementów, takich jak stado ptaków, w celu próby nadania sensu światu. Prace te przyniosły pożyteczne rezultaty, które umożliwią w przyszłości projektowanie urządzeń do komputerowej wizualizacji i interpretacji, na przykład w diagnostyce medycznej. Zdobycze projektu MANET, mające na celu dokładniejsze odwzorowanie aktywacji naczyń krwionośnych siatkówki w czasie oraz przestrzeni w obrębie kory wzrokowej, mają także szersze implikacje. Jak wyjaśnia prof. Citti: „Nasza metoda jest naprawdę przydatna, ponieważ pozwala reprezentować i klasyfikować naczynia siatkówki w różnych płaszczyznach i wymiarach, dzięki czemu otrzymujemy wyraźne szczegóły. Takie podejście można zastosować do badania szeregu chorób zwyrodnieniowych, np. cukrzycy, ponieważ krzywizna i inne właściwości geometryczne naczyń siatkówki uważane są za skuteczne biomarkery tych schorzeń”. Jeśli chodzi badanie przepływu ruchu, uczestnicy projektu wyszli od abstrakcyjnej teorii matematycznej zwanej „teorią transportu”, którą zastosowali następnie do dynamiki ruchu w celu stworzenia modelu pozwalającego na obliczanie prawdopodobnego natężenia ruchu w różnych godzinach i miejscach. Rozwiązanie to w oczywisty sposób przyda się urbanistom. Prof. Citti podsumowuje: „Nasze wyniki dotyczące analizy metrycznej oferują instrumenty dla wszystkich dziedzin matematycznych, od geometrii po teorię prawdopodobieństwa, ponieważ dostarczają elementów przydatnych w wielu modelach”.
Słowa kluczowe
MANET, metryka, pomiary, ruch drogowy, widzenie, zunifikowana teoria, modelowanie, matematyka, geometria, zmienne, prawdopodobieństwo
