Une théorie unitaire de l’analyse métrique aide à dévoiler des structures dans les données
Les mesures à la base d’une grande partie de notre compréhension du monde – l’analyse métrique étant une discipline mathématique servant notamment à mesurer les distances entre des points dans des espaces géométriques. L'analyse métrique permet aux chercheurs d'étudier les problèmes relatifs à la compréhension de la structure des espaces non réguliers, appelés «anisotropes», où des contraintes empêchent les mouvements dans certaines directions. Les mouvements des robots, généralement contraints par les liens physiques entre leurs différentes parties, en constituent peut-être l’illustration la plus parlante. L’analyse métrique s’avère toutefois insuffisante pour décrire et expliquer pleinement les mouvements dans l’ensemble des systèmes, dans l’espace et dans le temps. Le projet MANET (Metric Analysis for Emergent Technologies), financé par l’UE, a été créé dans le but de développer une théorie unitaire de l’analyse métrique susceptible de résoudre des problèmes mathématiques ouverts depuis longtemps, jusqu’ici insolubles par le biais d’une approche individuelle. Le projet a mis au point de nouveaux instruments d’analyse métrique, applicables à une vaste gamme de technologies émergentes et axés sur la vision artificielle, les modèles cérébraux et la dynamique des flux. «La géométrie du milieu ambiant» Expliquant la création de MANET, la professeure Giovanna Citti, coordinatrice du projet, déclare: «Les mathématiques sont le langage de la science, mais malgré la grande quantité de données générées par les nouvelles technologies, issues de différents domaines scientifiques, nous ne comprenons toujours pas systématiquement les structures sous-jacentes aux phénomènes qui sont en jeu. MANET a développé des outils d’analyse métrique qui explorent la géométrie de systèmes biologiques et complexes.» Dans sa quête d’une théorie unitaire, MANET a appliqué différentes méthodes, comme la théorie des mesures géométriques et la théorie des surfaces minimales, à des problèmes mathématiques ouverts. L’équipe était particulièrement intéressée par l’étude de ce qu’on appelle les «équations aux dérivées partielles (EDP) dégénérées». Il s’agit d’équations pouvant décrire la relation entre la fonction d’un phénomène et ses taux de variation – lorsque cela fait intervenir un nombre inconnu de variables. C’est une approche souvent utilisée pour expliquer des phénomènes tels que la chaleur ou le son. Comme l’explique le professeur Citti, «MANET a utilisé des instruments très sophistiqués pour étudier des problèmes apparemment très différents, comme la compréhension de la vision humaine et de l’écoulement du trafic. D’un point de vue mathématique, les structures relatives à ces problèmes peuvent être décrites de façon semblable.» Un intérêt à la fois pour la théorie et les applications La théorie unitaire de MANET a permis de mieux comprendre la structure et les fonctionnalités des parties du cerveau responsables des phénomènes relatifs à la perception. Les recherches ont porté en particulier sur la façon dont les illusions d’optique peuvent se produire et sur la capacité du cerveau à reconnaître les «unités perceptives», regroupant toute une foule d’éléments, comme une nuée d’oiseaux, dans le but de donner un sens au monde tel qu’il est perçu. Le travail a donné des résultats utiles pour la conception future de dispositifs informatiques de visualisation et d’interprétation, pour effectuer par exemple des diagnostics médicaux. Le travail accompli dans le cadre du projet MANET, visant à cartographier plus précisément l’activation des vaisseaux rétiniens dans le temps et dans l’espace au niveau du cortex visuel du cerveau, a des implications plus larges. Comme l’explique la professeure Citti, «notre méthode est vraiment puissante car elle nous permet de représenter et de classer les vaisseaux rétiniens sur différents plans et dans différentes dimensions, nous donnant ainsi accès à des détails précieux et sans ambiguïté. Cette approche peut être appliquée pour étudier toute une gamme de maladies dégénératives, telles que le diabète, étant donné que la courbure et les autres propriétés géométriques des vaisseaux rétiniens sont considérées comme des biomarqueurs efficaces.» En ce qui concerne les flux de circulation, le projet est parti d’une théorie mathématique abstraite appelée «théorie du transport» qui a été ensuite appliquée à la dynamique du trafic routier afin de créer un modèle capable de calculer la densité probable du trafic à différentes heures et à différents endroits, dont l’utilité est manifeste pour les urbanistes. Comme le conclut la professeure Citti, «je pense que nos résultats en analyse métrique offrent des outils pour tous les domaines mathématiques, de la géométrie à la théorie des probabilités, car ils fournissent des éléments utiles à un large éventail de modèles.»
Mots‑clés
MANET, métrique, mesure, trafic, vision, théorie unitaire, modélisation, mathématiques, géométrie, variables, probabilité
