Esaminare geometricamente le equazioni che descrivono i fenomeni del mondo
Risolvere una particolare equazione può sbloccare una miriade di potenziali opportunità per matematici, scienziati e ingegneri, ma spesso è necessario molto tempo perché tali applicazioni risultino evidenti. Il progetto GEOGRAL, finanziato dall’UE, si sta concentrando su una particolare famiglia di equazioni, o EDP, che possono essere usate per descrivere molti dei fenomeni presenti nel mondo. “Le equazioni differenziali parziali (EDP) sono equazioni che descrivono praticamente ogni singolo fenomeno del mondo in cui viviamo,” dice il prof. Janusz Grabowski dell’Istituto di Matematica presso l’Accademia delle scienze polacca. Alcuni di questi fenomeni riguardano il modo in cui il problema economico dell’allocazione ottimale delle risorse è descritto dalla cosiddetta equazione Monge-Ampere; il modo in cui le onde gravitazionali scoperte di recente erano state previste dalla famosa equazione di Einstein e come i moderni metodi per le previsioni del tempo si basano sulle equazioni che descrivono il comportamento dei fluidi. “Una EDP riesce a formalizzare, in termini matematici, il fatto che il comportamento presente di un fenomeno è dettato dalla sua storia passata,” continua il prof. Grabowski. Un tipico esempio di questo è il modo in cui una di queste equazioni riesce a descrivere la crescita di una popolazione di batteri. Se la popolazione iniziale consiste in un singolo batterio, allora dopo 1 minuto ci saranno due batteri, dopo 2 minuti quattro, dopo 3 minuti otto e così via, in uno schema di crescita esponenziale. L’aumento delle popolazione dipende dal tempo di durata del processo di moltiplicazione: all’inizio la popolazione cresce solo di pochi elementi, ma dopo un’ora, potrebbero esistere milioni di batteri. Caratterizzare geometricamente le EDP L’obiettivo della ricerca del progetto era trovare un modo geometrico di caratterizzare questa special famiglia di EDP. C’è una lunga tradizione di applicazione della geometria alle EDP che esiste sin dall’inizio del ventesimo secolo. Stabilire una metodologia geometrica potrebbe permettere ai matematici di distinguere questa speciale famiglia da tutte le altre EDP. Le competenze necessarie per visualizzare un’EDP in forma di oggetto geometrico richiedono anni di studio. La ricerca fondamentale in questi campi è essenziale per garantire che la scienza, la ricerca e l’ingegneria possano progredire su solide basi matematiche. Cercare EDP con specifiche simmetrie I ricercatori spesso devono cercare di trovare le equazioni che potrebbero risolvere un certo fenomeno. Lo fanno identificando certe “simmetrie” espresse dal fenomeno e quindi studiando una serie di EDP fino a trovarne una che esprime le stesse simmetrie. Il team di GEOGRAL è riuscito a ideare una procedura generale che, partendo da un gruppo arbitrario di simmetrie, produce una EDP che mostra esattamente tali simmetrie. Il progetto ha inoltre pubblicato diversi articoli che spiegano i risultati. “Questi risultati rappresentano una forte conferma che la geometria può essere usata con successo per rispondere agli interrogativi riguardanti le EDP,” dice il prof. Grabowski. “I risultati ottenuti da GEOGRAL costituiscono certamente una fonte di ispirazione per matematici esperti e di motivazione per i giovani matematici che stanno valutando se intraprendere o meno una carriera nella scienza.” Nel lungo termine, conclude, “si potrebbe ipotizzare che una comprensione più profonda delle EDP possa in definitiva aiutare a descrivere fenomeni rilevanti dal punto di vista fisico, possibilmente e auspicabilmente, in sinergia con potenti metodi matematici esistenti.”
Parole chiave
GEOGRAL, geometria, matematica, matematica pura, equazioni differenziali parziali, EDP
