Examen geométrico de las ecuaciones que describen los fenómenos del mundo
Solucionar una ecuación en particular puede abrir el acceso a innumerables oportunidades para matemáticos, científicos e ingenieros, pero a menudo estas ecuaciones tardan en hacerse evidentes. El proyecto GEOGRAL, financiado por la Unión Europea, se centra en una familia específica de ecuaciones, llamadas ecuaciones diferenciales parciales (EDP), que se pueden utilizar para describir muchos de los fenómenos presentes en el mundo. «Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) describen prácticamente cualquier fenómeno del mundo en que vivimos», dice el Prof. Janusz Grabowski del Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias. Algunos de estos fenómenos son el problema económico de la descripción de la asignación óptima de recursos mediante la ecuación de Monge-Ampere; la predicción de las ondas gravitatorias descubiertas recientemente mediante la famosa ecuación de Einstein; y cómo los métodos modernos de pronóstico del tiempo se basan en las ecuaciones que describen el comportamiento de los fluidos. «Una EDP sirve para formalizar, en términos matemáticos, el hecho de que el comportamiento actual de un fenómeno depende de su historia anterior», continúa el Prof. Grabowski. Un ejemplo típico de ello es la descripción del crecimiento de una población de bacterias mediante una de estas ecuaciones. Si la población inicial consiste en una sola bacteria, al cabo de un minuto habrá dos bacterias, al cabo de dos minutos habrá cuatro, al cabo de tres minutos habrá ocho y así sucesivamente, según un crecimiento exponencial. El aumento de la población depende de cuánto tiempo lleve en funcionamiento el proceso de multiplicación: al principio, la población crece en solo unos pocos elementos, pero al cabo de una hora, podría haber miles de millones de bacterias. Caracterización geométrica de las EDP El único objetivo de investigación del proyecto fue encontrar una forma geométrica de caracterizar esta familia especial de EDP. Existe una larga tradición de aplicación de la geometría a las EDP desde principios del siglo XX. Establecer un método geométrico podría permitir a los matemáticos distinguir esta familia específica de las demás EDP. Sin embargo, las habilidades necesarias para visualizar una EDP como un objetivo geométrico requieren años de estudio. La investigación fundamental en estos dominios es esencial para garantizar el avance de la ciencia, la investigación y la ingeniería sobre la base de fundamentos matemáticos sólidos. En busca de EDP con simetrías específicas A menudo, los investigadores deben buscar para encontrar las ecuaciones que puedan servir para solucionar un fenómeno determinado. Lo hacen identificando ciertas «simetrías» que presenta el fenómeno y, a continuación, investigando una serie de EDP hasta que encuentran una que exprese las mismas simetrías. El equipo de GEOGRAL definió con éxito un procedimiento que, a partir de un grupo arbitrario de simetrías, genera una EDP que presenta exactamente esas simetrías. El proyecto también publicó con éxito varios artículos con detalles sobre los resultados derivados. «Estos resultados representan una confirmación firme de que la geometría se puede utilizar para responder a preguntas relacionadas con EDP», dice el Prof. Grabowski. «Sin duda, los resultados obtenidos por GEOGRAL representan una fuente de inspiración para los matemáticos experimentados y una motivación para los jóvenes que piensan en la posibilidad de dedicarse a la ciencia». A largo plazo, concluye que «se puede especular que un conocimiento geométrico más profundo de las EDP podría ayudar a describir fenómenos físicamente relevantes, posiblemente, en combinación con los potentes métodos numéricos existentes».
Palabras clave
GEOGRAL, geometría, matemáticas, matemáticas puras, ecuaciones diferenciales parciales, PDE
