Simplificar la geometría algebraica compleja
FOSICAV trata de geometría algebraica compleja y, por tanto, de explicaciones complicadas y resultados complejos. Por ejemplo, según sus investigadores, un aspecto fundamental de la geometría algebraica es que las variedades se reparten en familias, y que los espacios paramétricos son variedades en sí. Una variedad es un objeto geométrico definido por ecuaciones polinomiales en el espacio proyectivo de n dimensiones con coordenadas en el campo de los números complejos. El espacio proyectivo es una ampliación leve del espacio n físico habitual que se obtiene al añadir puntos hasta el infinito, de tal forma que dos líneas paralelas del espacio físico acaben por encontrarse en un punto del infinito. En pocas palabras, el proyecto tenía la finalidad de lograr una repercusión sustancial en la geometría algebraica. «Deseamos que nuestro método, muy sencillo, de enumerar invariantes permita realizar computaciones que, por naturaleza, son imposibles con los métodos actuales», informó Ciro Ciliberto, coordinador del proyecto. Análisis por degeneración El tema se complica en adelante. Puesto que el objetivo del proyecto era enumerar curvas sobre superficies K3 (una superficie completa mínima suave, compleja o algebraica, que es regular y tiene paquetes canónicos triviales) empleando métodos de degeneración, los investigadores iniciaron un estudio geométrico de varias familias de subvariedades de ciertas variedades algebraicas complejas de pequeñas dimensiones y, principalmente, de familias de curvas. Según el coordinador, las variedades de Severi constituyen un ejemplo típico, ya que parametrizan curvas de un cierto grado y género geométrico en el plano proyectivo y la curva general presenta un número prescrito de puntos dobles ordinarios y ninguna singularidad adicional. Además de examinar las dimensiones de estas variedades, las propiedades de suavidad e irreducibilidad, los investigadores determinaron sus polinomios de Hilbert, que codifican sus grados y son importantes invariantes enumerativas. «Un elemento fundamental de nuestro proyecto era realizar este análisis por degeneración; para estudiar familias de subvariedades en determinada variedad X, dejamos que X degenerase y nos fijamos en lo que ocurrió en el límite —explicó Ciliberto—. Por ejemplo, para estudiar curvas sobre una superficie K3 general, dejamos que degenerase hasta una unión de planos proyectivos, cuyo grafo dual es la triangulación de la 2-esfera real». En concreto, el proyecto estudió las siguientes familias de subvariedades: familias de curvas con invariantes prescritas y singularidades en superficies, con especial atención a los dos casos del plano proyectivo y de las superficies K3; familias de secciones hiperplanas con singularidades prescritas de hipersuperficies en espacios proyectivos; familias de curvas con un género determinado en variedades de Calabi-Yau triples; y familias de superficies en el espacio triple proyectivo que contienen curvas con singularidades inesperadas. Matemática pura Después de todo esto, queda claro que FOSICAV trata sobre matemática pura. Pretende ser un trabajo autónomo, sin aplicaciones directas ni cotidianas, necesariamente. «Está bien documentado que la ciencia pura da lugar a investigaciones aplicadas y, en última instancia, a aplicaciones concretas —afirmó Ciliberto—. Por tanto, es crucial mantener investigaciones abiertas como el proyecto FOSICAV, como manera de examinar vías que presentan menos probabilidades de desembocar en aplicaciones, ya que algún día podrían ser el caldo de cultivo del que surja una idea revolucionaria».
Palabras clave
FOSICAV, matemáticas, geometría algebraica
