Die komplexe algebraische Geometrie vereinfachen
Beim EU-finanzierten FOSICAV-Projekt geht es um komplexe algebraische Geometrie. Es beinhaltet daher komplizierte Erklärungen und komplexe Resultate. Nach Aussagen der Projektforscher besteht ein fundamentaler Aspekt der algebraischen Geometrie darin, dass Varietäten in Familien variieren und die Parameterräume selbst Varietäten sind. Definitionsgemäß ist eine Varietät ein geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen im n-dimensionalen projektiven Raum mit Koordinaten im komplexen Zahlenkörper definiert wird. Der projektive Raum ist eine geringfügige Erweiterung des üblichen physikalischen n-Raums, den man durch Hinzufügen von Punkten im Unendlichen erhält, so dass sich zwei parallele Linien im physikalischen Raum an einem eindeutigen Punkt im Unendlichen treffen. So sollte das Projekt, vereinfacht ausgedrückt, wesentlich Einfluss auf die algebraische Geometrie nehmen. „Wir erwarten, dass unsere realistische Herangehensweise an das Benennen von Invarianten Berechnungen ermöglicht, die mit den gängigen Methoden von Natur aus unmöglich sind“, sagt Projektkoordinator Ciro Ciliberto. Analyse durch Degeneration Und hier werden die Dinge kompliziert. Da das Projektziel darin bestand, Kurven auf K3-Oberflächen (eine komplexe bzw. algebraische ebene minimale vollständige Oberfläche, die regelmäßig ist und ein triviales kanonisches Bündel hat) mit Hilfe von Degenerationsmethoden zu spezifizieren, stellten die Projektforscher eine geometrische Untersuchung verschiedener Familien von Untervarietäten bestimmter komplexe algebraische Varietäten kleiner Dimensionen und in der Hauptsache von Familien von Kurven an. Ciliberto zufolge sind Severi-Varietäten ein typisches Beispiel, da sie Kurven eines gegebenen Grades und einer geometrischen Gattung in der projektiven Ebene parametrisieren und die allgemeine Kurve eine vorgeschriebene Anzahl von einfachen doppelten Punkten und keine weitere Singularität aufweist. Zusätzlich zur Erklärung dieser Dimensions-, Ebenheits- und Irreduzibilitätseigenschaften dieser Varietäten untersuchten die Forscher gleichermaßen deren Hilbert-Polynome, die deren Grade kodieren und wichtige enumerative Invarianten darstellen. „Zentrales Merkmal unseres Projekts war es, diese Analyse durch Degeneration durchzuführen, was heißt, dass wir, um Familien von Untervarietäten in einer bestimmten Varietät X zu untersuchen, X degenerieren ließen und beobachteten, was mit dem Grenzwert passiert ist“, erklärt Ciliberto. „Um beispielsweise Kurven auf einer allgemeinen K3-Oberfläche zu untersuchen, lassen wir sie zu einer Vereinigung projektiver Ebenen degenerieren, deren dualer Graph eine Triangulation der realen 2-Sphäre ist.“ Das Projekt befasste im Einzelnen mit den folgenden Familien von Untervarietäten: Familien von Kurven mit vorgeschriebenen Invarianten und Singularitäten in Oberflächen, unter besonderer Berücksichtigung der beiden Fälle der projektiven Ebene und von K3-Oberflächen, Familien von Hyperebenenabschnitten mit festgelegten Singularitäten von Hyperflächen in projektiven Räumen, Familien von Kurven mit einer gegebenen Gattung in Calabi-Yau-Dreifachen und Familien von Oberflächen im projektiven Dreiraum, die Kurven mit unerwarteten Singularitäten enthalten. Reine Mathematik Diese Tatsachen verdeutlichen, dass es sich beim FOSICAV-Projekt um reine Mathematik handelt. Von daher soll es für sich selbst stehen und kann nicht unbedingt eine „direkte“ oder „alltägliche“ Anwendung vorweisen. „Es ist eine gut untermauerte Tatsache, dass die reine Wissenschaft die angewandte Forschung und im Endeffekt die Entwicklung konkreter Anwendungen fördert“, sagt Ciliberto. „Daher ist es von äußerster Wichtigkeit, unvoreingenommene Forschung wie das FOSICAV-Projekt weiter zu verfolgen, um wahrscheinlich erst einmal nicht zur Anwendung gelangende Wege zu erforschen, die aber eines Tages der Nährboden für fruchtbare revolutionäre Ideen sein könnten.“
Schlüsselbegriffe
FOSICAV, Mathematik, algebraische Geometrie
