Supprimer les restrictions qui limitent les solutions du dernier théorème de Fermat aux nombres entiers
Les seuls nombres naturels (nombres entiers positifs) ne suffisent pas toujours à résoudre un problème. Au fil des siècles, les mathématiciens s’en sont rendu compte en cherchant à résoudre le dernier théorème de Fermat, selon lequel aucun des trois nombres entiers positifs x, y et z ne peut satisfaire l’équation xn + yn = zn pour toute valeur entière n > 2. Cette simple affirmation est devenue le problème ouvert le plus célèbre des mathématiques. Il a tourmenté des foules de mathématiciens pendant plus de 350 ans, depuis que l’avocat et mathématicien amateur Pierre de Fermat l’a griffonné dans la marge d’une copie de l’«Arithmetica» de Diophante. Les équations diophantiennes, dont le nom vient de Diophante d’Alexandrie, sont des combinaisons de variables, d’exposants et de coefficients, comme 3x + 7y = 1 ou x3 + y3 = z3. Depuis l’Antiquité, les mathématiciens savent comment élaborer des combinaisons de nombres entiers pour résoudre les équations diophantiennes avec deux variables et aucun exposant supérieur à deux. La plus ancienne donnée connue provient de Plimpton 322, une tablette d’argile babylonienne qui aurait été écrite vers 1800 avant J.-C. La tablette découverte en 1920 contient 15 lignes de triplets pythagoriciens. «Un triplet pythagoricien est un triplet de nombres entiers (x,y,z) qui forment les côtés d’un triangle rectangle. L’équation diophantienne correspondante est x2 + y2 = z2», fait remarquer Samir Siksek, coordinateur du projet GalRepsDiophantine qui a été financé dans le cadre du programme Marie Skłodowska-Curie. «La conjecture de Fermat implique que si vous poussez la valeur de l’exposant au-dessus de 2, alors l’équation est fondamentalement différente des triplets pythagoriciens.»
Le phénoménal moment de gloire de Wiles
Le seul cas de son théorème que Fermat a réellement prouvé et qui a résisté à l’épreuve du temps est le cas où n = 4. Leonhard Euler a résolu le théorème pour n = 3, et Sophie Germain a prouvé le dernier théorème de Fermat pour un très grand ensemble d’exposants n premiers. Sa résolution complète a été apportée par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1995. Elle s’appuie sur trois concepts de la théorie des nombres: les courbes elliptiques, les formes modulaires et les représentations galoisiennes. «Dans les années 1980, Gerhard Frey a proposé un lien étonnant entre la conjecture de Fermat et une idée profonde appelée conjecture de modularité pour les courbes elliptiques. Frey soupçonnait fortement que les courbes elliptiques dans le domaine des nombres rationnels n’étaient pas modulaires. La non-modularité de Frey a été prouvée quelques années plus tard. Wiles a confirmé le dernier théorème de Fermat en prouvant le cas semi-stable de la conjecture de modularité», explique Samir Siksek. La méthode de Wiles prédit que la représentation résiduelle galoisienne de cette courbe elliptique provient d’un ensemble fini calculable de représentations galoisiennes modulaires.
La solution de Wiles n’est qu’une pièce d’un puzzle beaucoup plus vaste
Si Wiles a réussi à résoudre la conjecture de Fermat à partir des rationnels, la stratégie de validation pour de nombreux autres problèmes de Diophante (y compris l’équation de Fermat sur les champs numériques) est insuffisante. «Des études modernes se concentrent également sur les équations diophantiennes d’autres systèmes de nombres. On peut même penser à des tours de systèmes de nombres, où les nombres sont de plus en plus nombreux. Il est naturel de se demander si les idées de Frey, Wiles et d’autres qui ont conduit à la démonstration étonnante du dernier théorème de Fermat peuvent révéler des indices de l’équation de Fermat sur une famille infinie de champs de nombres de dimensions arbitrairement grandes», explique Samir Siksek. «Notre étude a été la première à considérer l’équation de Fermat pour des tours contenant des systèmes de nombres infinis. Plus particulièrement, nous avons réussi à démontrer le dernier théorème asymptotique de Fermat sur les couches de l’extension Z2 des rationnels», conclut Samir Siksek qui a travaillé en collaboration avec Nuno Freitas, boursier du programme Marie Skłodowska-Curie. Les résultats du projet ont été publiés ici.
Mots‑clés
GalRepsDiophantine, Wiles, équations diophantiennes, courbes elliptiques, dernier théorème de Fermat, représentations galoisiennes, rationnels, conjecture de modularité, nombre entier
