Finanzanlagerisiko und Bewertungsmethoden
Das zentrale Konzept des Projekts war der Begriff der Volatilität, der die quadratische Variation des Preisprozesses des Basiswertes beschreibt. Die Pfade des Preisprozesses werden durch Funktionen mit einem kritischen Höller-Exponent von 1/2 modelliert, auf dem die Arbitrage-Theorie der Preisgestaltung und Absicherung von derivativen Wertpapieren basiert. Empirische Daten haben außerdem darauf hingewiesen, dass der "wahre" kritische Exponent, oder vielmehr seine statistische Schätzung, etwas höher als 1/2 ist, aber auch deutlich niedriger als 1. Die Voraussetzung eines kritischen Hölder-Exponents ungleich 1/2 führt zu verschiedenen Modellen, etwa zu der sogenannten fraktionierten Brownschen Bewegung, die vor mehr als 50 Jahren von B. Mandelbrot vorgeschlagen wurde. Da jedoch diese Modelle eine Arbitrage erlauben, passen sie nicht zur wirtschaftlich recht überzeugenden Arbitrage-Theorie. RIVAL (Risk and valuation of financial assets: A robust approach) entwickelte eine Möglichkeit, beide Ansätze in Einklang zu bringen, indem die Transaktionskosten eingeführt werden. Es wurde bereits gezeigt, dass die Annahme von beliebig kleinen Transaktionskosten zu Modellen wie der fraktionierten Brownschen Bewegung frei von Arbitrage führt. Obwohl die Idee der Replikation unter der Annahme von Transaktionskosten keinen wirtschaftlichen Sinn macht, ist das Konzept der Portfolio-Optimierung aber aus mathematischer und wirtschaftlicher Sicht besser geeignet. Es wird angenommen, dass ein Schattenpreis mit einem Portfolio-Optimierungsproblem bei Transaktionskosten zusammenhängt. Auch wenn der ursprüngliche Preisprozess vielleicht keine Volatilität haben kann, so hat der Schattenpreis immer eine. Darüber hinaus stimmt das optimale Portfolio für den ursprünglichen Preisprozess unter Transaktionskosten mit dem optimalen Portfolio für den Schattenpreisprozess ohne Transaktionskosten überein, was eine Verbindung zwischen den beiden Ansätzen herstellt. Es gibt auch eine mathematische Konsequenz des obigen Ergebnisses, bei dem für eine gegebene fraktionierte Brownsche Bewegung ein Diffusionsprozess beobachtet werden kann, der die Pfade der fraktionierten Brownschen Bewegung auf einseitige Weise berührt. Ein mathematisch überraschender Aspekt ist, dass dabei keine Reflexion oder lokale Zeit beteiligt ist. Dieses Ergebnis gilt als ein hervorragendes Beispiel für eine rein mathematische Erkenntnis, die aus einem sehr anwendungsbezogenen Problem gezogen wird. Die Projektergebnisse wurden gemeinsam mit einem anderen Post-Doc-Projekt in einer Reihe von vier Artikeln veröffentlicht, von denen einer auch gemeinsam mit einem dritten Per-Doc-Projekt veröffentlicht wurde.
Schlüsselbegriffe
Finanzanlage, Risiko, Bewertung, Volatilität, Arbitrage-Theorie, RIVAL, Transaktionskosten